Lineaire algebra – vierde editie

Nederlandstalig handboek met online oefenmodule – Vierde editie!

• Nederlandstalig handboek Lineaire algebra voor het hoger onderwijs
• Gratis online oefenmodule met modeloplossingen
• Geschikt voor studenten van 1ste bachelor

In vrijwel alle toepassingsgebieden van wiskunde wordt lineaire algebra aangewend. Soms beperkt zich dat tot elementair matrixrekenen, maar al snel komen andere problemen aan bod. Een heldere introductie van begrippen en technieken is een noodzakelijke voorwaarde voor het oplossen van die probleemstellingen.

Deze vierde editie van het handboek Lineaire algebra laat studenten uit een brede waaier aan studierichtingen kennismaken met de basisbegrippen, basistechnieken en enkele voorname resultaten van de lineaire algebra. Naast technische kennis biedt dit handboek ook inzicht in de structuur van de oplossingen. Juist dát helpt de student om een adequate aanpak te ontwikkelen voor nieuwe probleemsituaties. De auteurs geven veel voorbeelden en besteden grote aandacht aan zorgvuldige argumentaties.

Het boek bevat meerdere thematische toemaatjes, waaronder een inleiding tot eindige velden, een kennismaking met Google’s PageRank TM en met Hammingcodes, en een introductie tot Fourierbenaderingen.

De QR-codes in het boek laten de student toe zich meteen online en interactief te bekwamen met een pakket oefeningen per hoofdstuk en met feedback onder de vorm van een uitgewerkt modelantwoord bij elke oefening.

Op de website www.lineairealgebra.be vindt de student naast de correcte antwoorden voor enkele oefeningen uit het boek ook enkele toemaatjes in een downloadbare versie. Uitgebreid verder oefenen kan ook via de hyperlink naar het platform usolv-it (www.usolvit.be).

Beide auteurs hebben uitgebreide onderwijservaring.

Voorwoord bij de vierde editie

1 Eerstegraadsvergelijkingen en matrices
1.1 Context en matrixvorm
1.2 Gauss-eliminatie, echelonvorm, rijgereduceerde vorm
1.2.1 Voorbeelden
1.2.2 Stelsels met parameters
1.3 Rekenen met matrices
1.4 Inverteerbaarheid van matrices en inverse matrices
1.5 Elementaire rijoperaties en elementaire matrices
1.6 LU-decompositie
1.6.1 Nut van een LU-decompositie
1.6.2 LU-decompositie van een inverteerbare matrix
1.6.3 Voorbeeld van een LU-decompositie
1.7 Oefeningen

2 Determinanten
2.1 Kennismaking in het geval van (2 × 2)-matrices
2.2 Determinant: definitie, bestaan en eigenschappen
2.2.1 Drie invloedrijke eigenschappen
2.2.2 Over permutaties en hun teken
2.2.3 Er is juist één determinantafbeelding (voor elke n ⩾ 1)
2.2.4 Ontwikkelen naar een rij of kolom
2.2.5 De toegevoegde matrix of adjunctmatrix
2.2.6 De formule van Cramer
2.3 Toepassing: veelterminterpolatie
2.4 Oefeningen
2.5 Toemaatje: over oppervlakte en volume

3 Vectorruimten
3.1 Het begrip vectorruimte
3.2 Deelruimten en lineaire combinaties
3.3 Som en directe som van deelruimten
3.4 Lineaire onafhankelijkheid, basis en dimensie
3.4.1 Lineaire afhankelijkheid en onafhankelijkheid
3.4.2 Basis, dimensie en coördinaten
3.4.3 Nogmaals som en directe som
3.5 Vectorruimten geassocieerd aan een matrix
3.5.1 Nulruimte, rijruimte en kolomruimte van een matrix
3.5.2 Basis van de nulruimte, de rijruimte en de kolomruimte
3.6 Oefeningen
3.7 Toemaatje: wat is een veld?
3.7.1 Het veld van de complexe getallen
3.7.2 Eindige velden met p elementen

4 Lineaire afbeeldingen en lineaire transformaties
4.1 Definitie en voorbeelden
4.2 Lineaire afbeeldingen en matrices
4.2.1 Matrixvoorstellingen van een lineaire afbeelding
4.2.2 De vectorruimte van de lineaire afbeeldingen
4.2.3 Lineaire afbeeldingen samenstellen en het matrixproduct
4.3 Isomorfismen van vectorruimten
4.4 Invloed van het veranderen van basis
4.4.1 Invloed op de coördinaat van een vector
4.4.2 Invloed op de matrix van een lineaire afbeelding
4.4.3 Invloed op de matrix van een lineaire transformatie
4.5 De dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen
4.6 Rang en eigenschappen
4.7 Algemene vorm en oplossing van een lineair probleem
4.8 Oefeningen
4.9 Toemaatje: Hammingcodes en lineaire afbeeldingen
4.9.1 Situering
4.9.2 Een inspirerend voorbeeld
4.9.3 Lineaire codes en lineaire afbeeldingen

5 Eigenwaarden, eigenvectoren en diagonaliseerbaarheid
5.1 Probleemstellingen: voorbeelden
5.2 Eigenwaarden en eigenvectoren
5.3 Spectrum en eigenruimten
5.4 Diagonaliseerbaarheid van een lineaire transformatie
5.5 Transformaties van complexe vectorruimten
5.6 Toepassingen
5.6.1 Discrete-tijd-evoluties
5.6.2 Stochastische matrices en Markovketens
5.6.3 Eigenwaarden van Lesliematrices
5.7 Oefeningen
5.8 Toemaatje: Google’s PageRankTM
5.8.1 Een eenvoudig model
5.8.2 Een tweede model
5.8.3 De echte PageRank: een eigenvector!
5.9 Toemaatje: triangularisatie en de stelling van Jordan

6 Inproductruimten en Euclidische ruimten
6.1 Inproducten en Hermitische producten
6.2 Euclidische meetkunde en Euclidische ruimte
6.3 Orthonormale basis, orthogonaal complement
6.4 Orthogonale projectie en kleinste-kwadratenoplossingen
6.5 Transformaties met een symmetrische matrix
6.6 Orthogonale matrices
6.7 Orthogonale en symmetrische transformaties
6.8 Oefeningen
6.9 Toemaatje: Fourierbenadering en Fouriercoëfficiënten

7 Singuliere-waardenontbinding
7.1 Singuliere-waardenontbinding van een matrix
7.2 Intuïtieve interpretatie
7.3 Singuliere-waardenontbinding van een symmetrische matrix
7.4 Veralgemeende inverse van een lineaire afbeelding
7.5 Verband met stelsels en de kleinste-kwadratenoplossing
7.6 Toepassing voor de matrixnorm en beste rang-k-benadering

8 Kegelsneden, kwadrieken en kwadratische vormen
8.1 Kegelsneden in ℝ2
8.2 Algemene tweedegraadsvergelijkingen in twee variabelen
8.3 Algemene tweedegraadsvergelijkingen in n variabelen
8.4 Kwadrieken in ℝ3
8.5 Kwadratische vormen, signatuur en extrema
8.5.1 Signatuur
8.5.2 Extrema

Bibliografie
Index

Paul Igodt

Paul Igodt is emeritus professor aan de KU Leuven Campus Kulak Kortrijk en verbonden aan het Departement Wiskunde. Hij doceerde lineaire algebra en stuurt mee de ontwikkeling aan van het dynamische oefen-, toets- en inspiratieplatform usolv-it.

Wim Veys

Wim Veys is professor aan de KU Leuven en verbonden aan het Departement Wiskunde. Hij is hoofd van de afdeling Algebra en doceert o.a. meer gevorderde algebra.