Online oefenmodule ‘Lineaire algebra’
Welkom op de webpagina van het handboek Lineaire Algebra. Op deze pagina vindt u per hoofdstuk een samenvatting en een link naar het online oefenplatform USolv-IT.
Bijkomende vragen en opmerkingen over het handboek en de oefenmodule zijn steeds welkom op het e-mailadres lineairealgebra@upl.be
Bekijk hier een aantal voorbeeldpagina’s van de vierde editie >
Download de extra online module bij Lineaire algebra, derde editie, ISBN 9789462703148 >
GA NAAR HET OEFENPLATFORM MET ALLE OEFENINGEN OVER HET HANDBOEK >
Hoofdstuk 1: Eerstegraadsvergelijkingen en matrices
We behandelen het oplossen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen via Gauss-eliminatie en de essentie van het matrixrekenen. Elementaire rij-operaties en elementaire matrices spelen hier een cruciale rol. We besteden kort aandacht aan de LU-decompositie.
Oefen hier online
Oplossingen
Hoofdstuk 2 Determinanten
Of een vierkant stelsel eerstegraadsvergelijkingen al dan niet oplosbaar is en, equivalent hiermee, of een vierkante matrix inverteerbaar is, wordt bepaald door één getal, de determinant van de matrix. Meestal is niet zozeer het berekenen van een determinant het belangrijkste, wel het strategisch kunnen hanteren van eigenschappen ervan. Als toemaatje hebben we het over oppervlakte en volume.
Hoofdstuk 3 Vectorruimten
Vectorruimten vormen de ‘grondstof’ voor de lineaire algebra. We bespreken hier essentiële begrippen van deze structuur zoals lineaire combinaties, lineaire afhankelijkheid en onafhankelijkheid, basis, dimensie en coördinaten. Ook vectorruimten geassocieerd aan een matrix komen aan bod. Als toemaatjes herhalen we de rekeneigenschappen van complexe getallen en maken we kennis met eindige velden met p elementen.
Oefen hier online
Oplossingen
Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen en lineaire transformaties
Lineaire afbeeldingen zijn de relevante afbeeldingen tussen twee vectorruimten. We behandelen de belangrijkste eigenschappen van lineaire afbeeldingen, waaronder de dimensiestelling, de verbanden met matrices en het begrip rang. Hiermee ontdekken we dat het bespreken van een stelsel eerstegraadsvergelijkingen in feite slechts een bijzonder geval is van wat we algemener een ‘lineair probleem’ kunnen noemen. Als toemaatje maken we kennis met de wereld van lineaire codes en in het bijzonder Hammingcodes, een erg bekende familie van foutendetecterende en foutencorrigerende codes.
Oefen hier online
Oplossingen
Hoofdstuk 5 Eigenwaarden, eigenvectoren endiagonaliseerbaarheid
Een gegeven lineaire transformatie van een eindigdimensionale vectorruimte wordt, na basiskeuze, beschreven door een vierkante matrix. We vragen ons af welke lineaire transformaties een diagonaalmatrix als voorstelling kunnen hebben, met andere woorden welke transformaties diagonaliseerbaar zijn. We ontdekken een criterium om na te gaan of een lineaire transformatie al dan niet diagonaliseerbaar is. Eigenwaarden en eigenvectoren, en hun algebraïsche en meetkundige multipliciteit spelen een cruciale rol. Als toemaatje hebben we het over Google’s PageRank, en vermelden we de stelling van Jordan.
Demo Interactieve illustratie van eigenvectoren van een transformatie van het vlak
Oefen hier online
Oplossingen
Hoofdstuk 6 Inproductruimten en Euclidische ruimten
Dankzij het begrip inproduct op een reële vectorruimte kunnen we belangrijke en interessante meetkundige begrippen zoals ‘lengte’, ‘afstand’ en ‘loodrechte stand’ introduceren. Merkwaardig genoeg blijken deze meetkundige begrippen hun invloed te hebben op typische begrippen uit de lineaire algebra, zoals lineaire onafhankelijkheid en basis. Een werkelijk cruciaal resultaat in dit hoofdstuk behandelt de diagonaliseerbaarheid van transformaties die kunnen voorgesteld worden door een symmetrische (of meer algemeen een Hermitische) matrix. Deze spectraalstelling is tevens een sleutelresultaat tot de singuliere-waardenontbinding voor een willekeurige reële matrix. Als toemaatjes leren we over de extrema van kwadratische vormen, de kleinste kwadratenoplossing voor een niet oplosbaar stelsel en zien we hoe een Fourierbenadering van een functie in feite een orthogonale projectie is.
Hoofdstuk 7 Singuliere-waardenontbinding
Een belangrijke toepassing van de spectraalstelling voor symmetrische matrices leidt tot een nieuwe en erg algemene factorisatiestelling voor willekeurige matrices: de singuliere-waardenontbinding. Deze factorisatie is op zich reeds belangrijk omdat ze een beter algebraïsch maar ook meetkundig inzicht biedt over de werking van een lineaire afbeelding. De impact van de ontbinding neemt echter sterk toe door de vele gevolgen en toepassingen ervan in de numerieke behandeling en verwerking van gegevens en bijgevolg onder meer voor de ingenieurswetenschappen.
Hoofdstuk 8 Kegelsneden, kadrieken en kwadratische vormen
Een volgende belangrijke toepassing van de spectraalstelling voor symmetrische matrices betreft de theorie van kwadratische vormen. Zowel bij meetkunde als bij toepassingen van analyse is inzicht in kwadratische vormen erg waardevol. We beschrijven eerst hun rol bij de klassieke studie van kegelsneden in het vlak, kwadrieken in de driedimensionale ruimte en meer algemeen de oplossingen van tweedegraadsvergelijkingen in een willekeurig aantal variabelen. Verder behandelen we de structuurstelling voor (reële) kwadratische vormen en hun toepassing bij optimalisatievraagstukken in de analyse.