Online oefenmodule 'Lineaire algebra'

GA NAAR HET OEFENPLATFORM MET ALLE OEFENINGEN OVER HET HANDBOEK > 

Hoofdstuk 1: Eerstegraadsvergelijkingen en matrices
We behandelen het oplossen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen via Gauss-eliminatie en de essentie van het matrixrekenen. Elementaire rij-operaties en elementaire matrices spelen hier een cruciale rol. We besteden kort aandacht aan de LU-decompositie.

Oefeningen
Oplossingen

Hoofdstuk 2 Determinanten
Of een vierkant stelsel eerstegraadsvergelijkingen al dan niet oplosbaar is en, equivalent hiermee, of een vierkante matrix inverteerbaar is, wordt bepaald door één getal, de determinant van de matrix. Meestal is niet zozeer het berekenen van een determinant het belangrijkste, wel het strategisch kunnen hanteren van eigenschappen ervan. Als toemaatje hebben we het over oppervlakte en volume.

Oefeningen
Oplossingen

Hoofdstuk 3 Vectorruimten
Vectorruimten vormen de ‘grondstof’ voor de lineaire algebra. We bespreken hier essentiële begrippen van deze structuur zoals lineaire combinaties, lineaire afhankelijkheid en onafhankelijkheid, basis, dimensie en coördinaten. Ook vectorruimten geassocieerd aan een matrix komen aan bod. Als toemaatjes herhalen we de rekeneigenschappen van complexe getallen en maken we kennis met eindige velden met p elementen.

Oefeningen
Oplossingen

Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen en lineaire transformaties
Lineaire afbeeldingen zijn de relevante afbeeldingen tussen twee vectorruimten. We behandelen de belangrijkste eigenschappen van lineaire afbeeldingen, waaronder de dimensiestelling, de verbanden met matrices en het begrip rang. Hiermee ontdekken we dat het bespreken van een stelsel eerstegraadsvergelijkingen in feite slechts een bijzonder geval is van wat we algemener een ‘lineair probleem’ kunnen noemen. Als toemaatje maken we kennis met de wereld van lineaire codes en in het bijzonder Hammingcodes, een erg bekende familie van foutendetecterende en foutencorrigerende codes.

Oefeningen
Oplossingen

Hoofdstuk 5 Eigenwaarden, eigenvectoren endiagonaliseerbaarheid
Een gegeven lineaire transformatie van een eindigdimensionale vectorruimte wordt, na basiskeuze, beschreven door een vierkante matrix. We vragen ons af welke lineaire transformaties een diagonaalmatrix als voorstelling kunnen hebben, met andere woorden welke transformaties diagonaliseerbaar zijn. We ontdekken een criterium om na te gaan of een lineaire transformatie al dan niet diagonaliseerbaar is. Eigenwaarden en eigenvectoren, en hun algebraïsche en meetkundige multipliciteit spelen een cruciale rol. Als toemaatje hebben we het over Google’s PageRank, en vermelden we de stelling van Jordan.
Demo Interactieve illustratie van eigenvectoren van een transformatie van het vlak

Oefeningen
Oplossingen

Hoofdstuk 6 Inproductruimten en Euclidische ruimten
Dankzij het begrip inproduct op een reële vectorruimte kunnen we belangrijke en interessante meetkundige begrippen zoals ‘lengte’, ‘afstand’ en ‘loodrechte stand’ introduceren. Merkwaardig genoeg blijken deze meetkundige begrippen hun invloed te hebben op typische begrippen uit de lineaire algebra, zoals lineaire onafhankelijkheid en basis. Een werkelijk cruciaal resultaat in dit hoofdstuk behandelt de diagonaliseerbaarheid van transformaties die kunnen voorgesteld worden door een symmetrische (of meer algemeen een Hermitische) matrix. Deze spectraalstelling is tevens een sleutelresultaat tot de singuliere-waardenontbinding voor een willekeurige reële matrix. Als toemaatjes leren we over de extrema van kwadratische vormen, de kleinste kwadratenoplossing voor een niet oplosbaar stelsel en zien we hoe een Fourierbenadering van een functie in feite een orthogonale projectie is.

Oefeningen
Oplossingen

Dit online didactisch materiaal hoort bij het boek ‘Lineaire algebra’ (ISBN 9789462700529) en is beschikbaar gemaakt in Open Access onder de Creative Commons-licentie CC BY-NC-ND 4.0.